수학적 확률의 정의와 근원사건 : 주사위의 눈이 1이 나올 확률은 정말 1/6인가?

 

 

 

 

 

 

보통 우리가 확률을 이야기 할때,

주사위 던지기 게임, 동전던지기 게임을 예시로 많이 든다. 

가장 명료하면서도 확률의 여러 개념들을 포괄하는 예시이기 때문이다.

 

가장 처음에, 누구에게나 하는 질문이 이거다.

 

주사위를 던졌을 때 주사위 눈이 1이 나올 확률은 몇일까?

 

보통은 이렇다,

"잘 알고 있듯이 1/6입니다. 여러분은 확률을 잘 알고 있습니다~"

 

우리가 지금껏 배워왔던 대부분의 확률은 이러했고,

우리는 확률과 아주 친숙함을 주입되어왔다.

그런데, 정말 주사위 1의 눈이 나올 확률이 1/6이라고 보장 할 수 있을까?

사실은, 주사위에 누군가 임의의 조작을 걸어서 정육면체의 큐브형 주사위가 아니라 '1'의 면이 울퉁불퉁해서 다른면 보다 덜 나오게 세팅이 되었다고 한다면.. 그래도 1/6이라고 말 할 수 있을까?

'에이 그건 조작이 있는거잖아, 그럼 1/6이라고 하면안되지~'

'그럼 확률이 몇인데? 어떻게 알 수 있는데??'

'....'

 

다시 원래의 질문으로 돌아가서..

주사위를 던졌을때 주사위의 1의 눈이 나올 확률이 1/6이라고 말할 수 있는것은

100번,, 1000번은 던져봐야 알 수 있는것이 아닐까?

우리가 1/6이라고 말할 수 있는것은,

정말 여러번 던져 보고 나서, 각 확률이 1/6로 수렴하는것을 보고

'아~ 확률이 1/6이구나' 하고 수긍할 시나리오를 예상하고 1/6이라고 이야기 할 수 있는걸까?

 

 

설날에 가족들끼리 윷놀이 좀 해봤다면

편법을 쓰지 않는한, 이상하리만큼 '개'가 다른 모양보다 더 많이 나온다는걸 경험삼아들 다들 알고 있을것이다.

 

윷놀이를 자세히 뜯어보면

4개의 윷을 던져 각 윷의 앞면과 뒷면의 개수에 따라

도/개/걸/윷/모  5가지 모양으로 나누어 말의 진행을 결정하는것인데

이상하리만큼 '개'가 다른 모양보다 자주 나오고, 그다음은 '걸'이 자주 나온다. 끝판왕인 '모'는 진짜 안나온다.

똑같이 윷마다 앞뒷면이 나올 확률이 같을거고..4개를 가지고 던지는것뿐일텐데..  대체 왜 이런현상이 발생하는걸까?

 

또 다른 예를 생각해보자.

내일 비가올 확률이 얼마나 될까? 라는 이야기를 종종 하고들한다.

그런데 비가 온다라는것은, 비가 오는날과, 오지 않는날 두 날이 있는데,  

비가 온다 / 비가오지 않는다+비가 온다 의 50%확률인가?

 

'아니지 ,.. 10몇프로 쯤 되겠지' 라고 이야기 한다.

그럼 10몇프로는 어디서 나온건데?.. 

'1년 365일중에 10퍼센트 정도 , 즉 30몇일정도가 비가 오잖아.'

'나의 모든 일생 동안, 비가온 날들이 10%는 되었던것 같더라.'

이들의 말은 즉, 지금 까지 나의 경험으로 미루어 봤을때 열흘 중 하루는 비가 오더라 라는 말이다.

 

이쯤되면 무언가 이상함을 느꼈을것이다.

확률의 구성요건은 도대체 뭐고, 어떻게 이야기 해야 정확한 확률을 이야기 할 수 있는걸까?

 

수학적 확률의 정의는 일반적인 확률의 정의에서 '동등성'을 강조한다.

'표본 공간' 이라고 불리는 전체 사건의 영역에서 각 표본공간의 원소인 근원사건이 모두 같은정도로 기대 되었을때에서야 비로소 해당 사건의 수/ 전체 사건의 수의 빈도 수로 확률을 이야기 할  수 있다 라는것이다.

 

주사위의 예시로 돌아가보자.

우리가 주사위의 눈이 1이 1/6확률로 나올것이다 라고 이야기 할 수 있는것은

1. 그 주사위가 정교하게 잘 만들어져서,

2. 1~6까지의 면이 나올 확률이 모두 같은 정도로 기대 되었고,

3. 전체 경우의수 6에서,  주사위 1의 면이 나올 수 있는 경우가 1가지 이기 때문이라고

1/6이라고 말한것이다.

 

즉 다시말해, 그냥 우리가 확률을 말할때도, 수학적 확률에 철저히 기반해서 이야기 해왔다는것이다,

그래서 어떠한 사건의 확률이 헷갈릴때는 다시한번 수학적 확률의 정의를 되새기는것이 좋을것 같다는 생각이 들었다.

이제 수학적 확률의 정의에 따라서 다시 생각해보면,

윷놀이의 예시를 잘 캐치 할 수 있고, 비가 올 확률의 구성요건을 어떻게 다시 재조립 해야할지 감이 왔을것이다.